O estudo do teorema da coroa tem suscitado interesse ao longo das últimas décadas e tem-se revelado uma importante ferramenta para o estudo da invertibilidade dos operadores de Toeplitz.
É conhecido que se existir uma solução não nula do problema de Riemann-Hilbert G??=??, com ?_{±} satisfazendo as condições do teorema da coroa em C^{±} (respectivamente) então o operador de Toeplitz com símbolo matricial G, supondo detG=1, é invertível. Contudo, este resultado só é útil se conseguirmos determinar uma solução não nula para o problema de Riemann-Hilbert e se fôr possível verificar as condiçes do teorema da coroa. Nenhuma destas questões está resolvida a menos de alguns casos particulares.
Neste seminário, por um lado, tirando vantagem de certas propriedades da matriz G, estabelecemos condições sobre ?_{±}, que são equivalentes às condições do teorema da coroa, mas mais simples de verificar. Por outro lado, identificamos novas classes de símbolos G para as quais uma solução não trivial do problema de Riemann-Hilbert pode ser explicitamente obtida e as condições do teorema da coroa podem ser verificadas pela abordagem anterior, estabelecendo-se assim critérios de invertibilidade para o operador de Toeplitz associado a este símbolo G.